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Quelques notions mathématiques

Arithmétique​

Le module​

Le modulo est une opération qui permet de retourner le reste de la division euclidienne de a par b : a=b∗k+r⇔a=r(modb)a = b*k + r \Leftrightarrow a = r \pmod b

Exemple : 16=5∗3+1⇔16=1(mod5)16 = 5*3 + 1 \Leftrightarrow 16 = 1 \pmod 5

Dans le cas où r est à 0, on dit que b divise a.

Quelques liens :

Le PGCD​

Le Plus Grand Diviseur Commun se calcule entre 2 nombres. Comme le nom l'indique, c'est le plus grand diviseur commun aux 2 nombres.

Exemple : PGCD(18,16)=2PGCD(18,16) = 2 car ‘18≡3∗3∗2‘`18 \equiv 3*3*2` et ‘16≡2∗2∗2∗2‘`16 \equiv 2*2*2*2`.

PGCD(101,50)=1PGCD(101,50) = 1 car ‘101≡101‘`101 \equiv 101` et ‘50≡2∗5∗5‘`50 \equiv 2*5*5`, 1 est le seul diviseur commun. Dans ce cas, on dit que 101 et 50 sont premiers entre eux.

Quelques liens :

Les nombres premiers​

Un nombre est dit premier si il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

2,3,5,7,11,13...

Les nombres premiers possède de nombreuses propriétés spécifiques très intéressantes.

Quelques liens :

L'inverse modulaire​

v est l'inverse modulaire de u modulo n si u∗v=1(modn)⇔u=v−1(modn)u*v = 1 \pmod n \Leftrightarrow u = v^{-1} \pmod n.

En python, on peut le calculer ainsi :

u = pow(v,-1,n)

Cette opération est notamment utilisé dans le chiffrement RSA.

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Logique​

Représentation binaire​

Nous utilisons communément la base 10 pour calculer ou bien communiquer. Cependant, il existe d'autres bases.

En base 10, le nombre 346 peut se décomposer ainsi : ‘346≡3∗100+4∗10+6∗1≡3∗102+4∗101+6∗100‘`346 \equiv 3*100 + 4*10 + 6*1 \equiv 3*10^2 + 4*10^1 + 6*10^0`

Ainsi, en base 2 (ou binaire), c'est la même chose : ‘(1011)2≡1∗23+0∗22+1∗21+1∗20≡8+2+1=11‘`(1011)_2 \equiv 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 \equiv 8 + 2 + 1 = 11`

Cette représentation est utilisée par les ordinateurs.

Il existe également les bases 16, 8... qui se décomposent de la même manière.

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Les opérations logiques​

En mathématiques, on utilise généralement des opérations telles que l'addition (+), la multiplication (x)... Il existe également des opérations logiques. Le résultat des opérations logiques est toujours constitué d'un de ces 2 éléments {VRAI, FAUX} ou {1,0} appelés valeurs de vérité.

Il est possible d'établir des tables de vérité.

  • Opération AND :

Le résultat S est à 1 (VRAI) seulement si A et B sont également à 1.

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  • Opération OR :

Le résultat S est à 1 (VRAI) seulement si A, B, ou les deux sont à 1.

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  • Opération XOR :

Le résultat S est à 1 (VRAI) seulement si A et B sont la négation de l'autre (1,0) ou (0,1).

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  • Opération NOT :

Le résultat S est la négation de la valeur de A.

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